series de fourier

Problemas con integrales.

PROBLEMAS DE INTEGRALES.

HISTOGRAMAS - ANGELICA VEGA SAUCEDO

Representa mediante histogramas con nueve intervalos dos muestras de 500 piezas, distribuidas en forma aproximadamente normal, sabiendo que tienen la misma desviación estándar, pero medias aritméticas diferentes.Sí el valor deseado, nuestros requerimientos o especificaciones es 3.5 ±.016.

¿Cuál de las dos muestras indica un mejor desempeño del proceso?

LINK DE DESCARGA DEL ARCHIVO; https://drive.google.com/open?id=0B5pnH0Y7IK7MemJCcEY4cDI3UWs

MITO,FICCIÓN O REALIDAD DEL RECTÁNGULO ÁUREO DE FIBONACCI

FICCION, MITO O REALIDAD DE FIBONACCI

Todo comenzó con una sucesión de número que Fibonacci descubrió.

Esta es su historia.. un tal Bonaccio, residente en Pisa (donde, según Benjamín, vivían 20 judíos) celebraba el nacimiento de su hijo Leonardo. Como era vástago de Bonaccio, casi nunca nadie conoció al niño como Leonardo de Pisa, sino como "el hijo de Bonaccio", esto es, Fibonacci,Bonaccio, por entonces director de una aduana italiana en Argelia, necesitaba que su hijo supiese de números, por lo que obligó al chiquillo a estudiar aritmética posicional hindú. Milagrosamente, Fibonacci descubrió en las matemáticas el amor de su vida. Nunca más las abandonó , El aporte de Fibonacci a la matemática es tan grande y tan profundo que prácticamente no puede ser medido. Por la época en la que vivió, el sistema de numeración arábigo (el que usamos nosotros) era poco menos que una curiosidad: todo el mundo usaba los números romanos. Y ya se sabe lo difícil que es multiplicar (por no hablar de dividir) con números romanos, por la sencilla razón de que no tienen cero. Les encargo una ecuación cuadrática o una integral de segundo grado. Leonardo de Pisa, Fibonacci

Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en las caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de mentira en tales afirmaciones.

Las series de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano por el teórico francés Edouard Lucas, porque este tipo de sucesiones numéricas forman parte de un problema bastante sencillo del Liber abaci.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica serie de Fibonacci sería:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
respondiendo a la fórmula
Fn = Fn-1 + Fn-2

Las aplicaciones de los números de Fibonacci son también, al parecer, infinitas: se utilizan en generación de números al azar, en la búsqueda de valores máximos y mínimos de funciones complejas de las que se ignora la derivada, en trabajos de clasificación de datos, en recuperación de información en computadoras, y mil etcéteras más.
Los fractales son series de Fibonacci

Entre las muchas curiosidades de las Fibonacci, una de las más extrañas propiedades de las mismas es que la razón entre cada par de números consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vez menor. En teoría, cuando llegásemos al último par de números, resultaría
¥ / ¥-1 = 1,61803...

Las extrañas apariciones de las series de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. Sabemos que los caparazones espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía. Varios bardos romanos, especialmente Virgilio en la Eneida, parecen haber utilizado las series de Fibonacci en la estructura de sus obras poéticas.
En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci en la disposición de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos.

Los "rectángulos de oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectángulares áureos, pero no lo hacían).

Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más agradables a la percepción humana.

Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números, pero no hay buena evidencia de que alguna vez utilizara deliberadamente a Φ en una composición).

La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los caracoles, en el número de pétalos de las flores, en los períodos de los planetas del sistema solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores. ¡Tan omnipresente es la secuencia en la naturaleza (de acuerdo con esta gente) que uno empieza a sospechar que la serie tiene la notable capacidad de "ajustarse" a casi cualquier cosa!

Los procesos de la naturaleza son "gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen que los procesos naturales se "explican" por esta relación.

ALGUNOS EJEMPLOS SON :

La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectivamente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.

No es difícil encontrar que una de estas curvas se ajusta a un patrón particular en la naturaleza, incluso si ese patrón está sólo en el ojo del espectador. Sin embargo, el pequeño y sucio secreto de todo esto es que cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros suelen tener variaciones considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad, por alguna otra espiral. El hecho de que una curva "encaja" con datos físicos no da ninguna pista acerca de los procesos físicos subyacentes que producen dichas curvas en la naturaleza. Tenemos que indagar más para encontrar esos procesos

La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "misti-máticos" (o matemáticos místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral. ¿Son éstas espirales doradas o corresponden a algún otro tipo de espiral? La ecuación matemática exacta de la espiral depende de cuán lejos el pájaro decida desplegar su cola. ¿Nos dice este patrón algo científicamente importante sobre biología de las aves? Es muy poco probable.

La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro, sin un título en matemáticas superiores. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".

Esto revela el simple secreto de los espirales en la naturaleza. A menudo es el resultado de uncrecimiento con restricciones. A medida que el nautilo crece, el extremo abierto de su caparazón aumenta de diámetro a una velocidad casi constante. Está forzado a curvarse alrededor de la caparazón existente. El resultado es una curva en espiral. Uno mismo podría hacer algo así. Tome arcilla de modelado y hágala rodar hasta formar un cono largo y uniformemente. Entonces, comenzando por el extremo puntiagudo, envuelva el cono alrededor de sí mismo.


Otra espiral que a veces se suele encontrar en la naturaleza es la espiral de Arquímedes. Se puede construir esta espiral en un papel. Se marca un punto central. A cierta distancia se marca otro punto. A continuación, se crea un ángulo de 45° desde este punto, hasta el punto central. Se marca un punto en un radio una cantidad x de veces menor que el radio del primer punto. Se sigue haciendo lo mismo, a medida que se gira otros  45° y se hace el radio x veces más pequeño cada vez. El resultado es una linda espiral, pero no es una espiral dorada. Y recuerde que las espirales de la naturaleza no siempre son espirales de Fibonacci, y, que a veces ni si quiera se acercan.

Obsesiones doradas

Ombligos. Hemos leído que se puede revelar Φ midiendo la altura de una persona y la altura desde el suelo hasta su ombligo. La relación de la altura al ombligo y la altura total se supone que es Φ. La implicación es que éste es un indicador del atractivo de las proporciones corporales. ¿Alguien ha revisado a las personas reales? En mi interés por la ciencia he comprobado esta afirmación en una amplia muestra de las modelos más populares en trajes de baño. Esto debería verificar la afirmación de que los cuerpos considerados como "hermosos" deben tener las características ideales de forma, incluida la altura de ombligo ideal (es un trabajo duro, pero alguien tenía que hacerlo). Los resultados arrojaron un promedio de 0,58±0,01 con una variación bastante pequeña. Esto en cuanto a este mito.

Arte y arquitectura. Algunos autores afirman que los artistas y arquitectos a largo de la historia han incorporado deliberadamente a Φ en las proporciones de sus trabajos, y a menudo se cita como ejemplo de ello al Partenón.

Mercado de valores. Los inversionistas a menudo buscan el "santo grial", un método matemático para predecir el mercado de valores. Algunos analistas del mercado de valores utilizan la serie de Fibonacci para orientar sus inversiones. Pues, podría funcionar tan bien como otros métodos tontos para predecir el futuro: bien podrían lanzar los dados o leer las hojas de té. Inspira mucha confianza la "experierticia" de ciertos corredores de bolsa o de sociedades de inversión, ¿verdad?

CONCLUSION:

No es muy difícil encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o relación matemática que se desee. Por eso, algunas personas cometen el error de suponer que esto revela un principio  místico que rige la naturaleza. Esto se ve reforzado al hacer caso omiso de los casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno, se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder adaptarse, simplemente ponen la excusa que son "casos especiales".

OPINION PERSONAL:

En mi opinión personal,esto es un mito ya que una figura no puedo hacer las cosas mas bonitas ante los ojos de un ser humano, es algo que nosotros los humanos creemos porque lo han dicho desde tiempos anteriores y nuestra mente se lo cree, al igual que otros mitos que aun no son rebelados

FIBONACCI

www.youtube.com/watch?v=Xw4xFxzpy4s

La serie de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Los dos primeros números de la sucesión son 0 y 1. Los otros términos son la suma de los 2 términos anteriores en la sucesión: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13…

Esta sucesión se la debemos a Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, matemático Italiano del siglo XIII. La sucesión descubierta por este matemático la podemos encontrar en la computación, matemáticas, juegos, en el arreglo de un cono, en la música, ¡hasta en la naturaleza.

Sera mito,ficcion o realidad el rectángulo áureo de fibonacci.

EXCEL

El formato condicional en Excel es una funcionalidad de gran utilidad al momento de realizar el análisis de datos ya que puedes dar un formato especial a un grupo de celdas en base al valor de otra celda. Esto te permitirá aplicar un tipo de fuente específico o un color de relleno diferente para aquellas celdas que cumplan con ciertas reglas y así poder identificarlas fácilmente en pantalla.

La función BUSCARV en Excel nos permite buscar un valor dentro de un rango de datos, es decir, nos ayuda a obtener el valor de una tabla que coincide con el valor que estamos buscando.

La función BUSCARH en Excel busca un valor dentro de una fila y devuelve el valor que ha sido encontrado o un error #N/A en caso de no haberlo encontrado. Esta función es similar, en cierto sentido, a la función BUSCARV.

Cuando utilizar la función

BUSCARH

Debemos utilizar la función BUSCARH cuando el valor que estamos buscando se encuentra en una fila de alguna tabla de datos. Por el contrario, la función BUSCARV realiza la búsqueda en una columna.

Las tablas dinámicas en Excel permiten agrupar datos en una gran cantidad de maneras diferentes para  poder obtener la información que necesitamos. En esta ocasión explicaré el funcionamiento básico de una tabla dinámica.

Las funciones lógicas en Excel se utilizan en la toma de decisiones. En base al resultado de una función decidiremos si ejecutar o no cierta acción requerida.

Función Excel Y
se encuentra en Excel al lado de la barra de fórmulas en insertar función, que se indica con las letras fx, o también se puede encontrar en la pestaña formulas/bibliotecas de funciones/lógicas.

La función de Excel Y devolverá VERDADERO si todos los argumentos son VERDADERO o FALSO si uno o más argumentos son FALSO.
La sintaxis es la siguiente:
=Y (valor_lógico1;[valor_lógico2];…)
Son las condiciones que se desea comprobar, pudiendo tener desde una, que es obligatorio, hasta 255 condiciones.
Los argumentos deben evaluarse como valores lógicos, como VERDADERO o FALSO, o bien deben ser matrices o referencias que contengan valores lógicos.
Si un argumento matricial o de referencia contiene texto o celdas vacías, dichos valores se pasarán por alto.
Si el rango especificado no contiene valores lógicos, la función Y devuelve el valor de error # ¡VALOR!

Función Excel O
la podemos hallar igualmente dentro de la Biblioteca de funciones en la categoría Lógicas, como la función SI y la Y…

La función O devolverá VERDADERO si alguno de los argumentos es VERDADERO; devolverá FALSO si todos los argumentos son FALSO.
Los argumentos son los mismos que la función Y, pudiendo también tener hasta 255 condiciones.
Esta función tiene las mismas características que la función Y. 

La función SI en Excel es parte del grupo de funciones Lógicas y nos permite evaluar una condición para determinar si es falsa o verdadera. La función SI es de gran ayuda para tomar decisiones en base al resultado obtenido en la prueba lógica.

Ejemplo de problema de razonamiento.

lizbeth Eduviges compro un vestido, unos zapatos, y una bolsa de mano para su graduación gastando un total de $3800. Si la bolsa costo el doble que los zapatos y el vestido costo $550 mas que la bolsa, ¿Cuanto costo cada articulo?

BOLSA.- costo el doble que el vestido.
VESTIDO.-costo $550 mas que la bolsa
ZAPATOS.-incógnita

TOTAL:3800
x+2x+(2x+550)=3800
3x+2x+550=3800
x=3250/5
x=650

ZAPATOS.-X=$650
BOLSA.-2X=$1300
VESTIDO.-2X+550=1850

TOTAL:3800

Como resolver un problema de razonamiento.

Trazar un plan para resolverlo. 

- ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?

- ¿Se puede plantear el problema de otra forma?

- Imaginar un problema parecido pero más sencillo.

- Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?

- ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

- Poner en práctica el plan. 

- Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.

- ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?

- Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?

- Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace.

- Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.

- Comprobar los resultados. 

- Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.

- Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible?

- ¿Se puede comprobar la solución?

- ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?

- ¿Se puede hallar alguna otra solución?

- Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.

- Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.

SIGUIENTE OPCIÓN:

Para resolver un problema matemático lo primero que debemos identificar es qué es lo que nos están pidiendo, saber dónde queremos llegar o que debemos conseguir, es decir, identificar la incógnita, si no comprendemos este punto es muy difícil llegar a una solución para el problema. Una técnica es resumir el problema con nuestras propias palabras.

- Otro punto muy importante es saber aplicar las operaciones matemáticas como sumas, restas multiplicaciones, divisiones y otras operaciones.

- La suma se relaciona con añadir,agregar o juntar, elementos de una misma clase.

- Restar es separar o quitar una cantidad de otra.

- Multiplicar es equivalente a sumar un numero tantas veces como dice otro numero, por ejemplo: Nicolás lleva 2 galletas diarias de colación al colegio ¿cuántas galletas consume a la semana? Tenemos el primer dato que son las 2 galletas y el segundo dato son los días de colegio en una semana, que son 5. Entonces la operación es 2 x 5.

- Dividir es repartir un número en varias partes iguales.

Teniendo claro a que equivale cada operación es más fácil saber cuál aplicar en cada caso.

3- Luego de  entender el problema debemos identificar los datos que se nos entregan y plantearlas de acuerdo a la operación que más nos sirva.

4- Por último debemos repasar los pasos que dimos comparándolo con el problema dado para ver y comprobar si nos hemos equivocado en algo. Luego de esto podremos decir que tenemos la solución al problema.

Actividad 2.2 Productos notables y factorización.

Día de muertos.

Día de muertos.

Este día es muy especial para muchas personas ya que es cuando la gente se pone a recordar y va a visitar a sus seres difuntos, que aunque no estén presentes en vida, siempre los vamos a llevar en nuestro corazón, en nuestro corazón vivirán, desde hoy y siempre serán amor, y nunca los olvidaremos.

Lo mejor de este día es recordarlos, hacer algo por ellos, elaborar un altar.

Existen personas que no le ponen mucha atención a un día así, ya que se les hace algo ilógico hacer algo por personas ya muertas.

Pero el tiempo se encarga de enseñarnos que estas personas se merecen un día aunque sea de nosotros de nuestra atención de nuestro amor, recordarlos, pensar en ellos, en lo que eran y en lo que serán para siempre en nuestra vida.

Solo es mirar a nuestro lado, y ver que ellos estarán siempre.

Algunas de las cosas que se ponen en el altar de muertos son:

La cruz: Por tratarse de una celebración católica, la cruz de Cristo es el elemento que representa a todos los que practican esa religión.

Las velas: La investigadora menciona que la vela es muy importante. Si son niños, se usan de colores; si son adultos, se usa negro o blanco.  “El significado es la luz… las personas que ya descansaron están con Dios y si están con él, es que fueron buenas. Como la vela,  alumbran con su ejemplo en vida. La vela litúrgicamente es considerada como figura de Cristo, la luz del mundo”,

 Las flores: Este elemento puede variar y su uso no es tan riguroso. La gente pone lo que tiene en su casa, así que en este aspecto no tiene que ser tan riguroso su uso, la gente coloca las  que tiene en casa”.

 El incienso: Cumple con la función de llevar el olor de la comida que se coloca el altar hasta nuestros familiares ya fallecidos, es como una invitación a bajar al mundo de los vivos para que prueben la comida que hicimos en su honor.

 El vaso: Más que un elemento simbólico, el vaso con agua cumple la función de digestivo para las ánimas y para que “embuchen” después de comer, menciona la especialista.

 La fotografía: Este es otro elemento que no es obligatorio. Usar la imagen del familiar significa que estás recordando a esa persona y vas a rezar por él, vas a recordar su ejemplo”.

 El mantel: Por último, está el mantel, que para los niños puede ser uno de colores, mientras que para los adultos debe ser de color blanco. Su significado es puramente ornamental. “Cuando tú invitas a alguien a comer a tu casa, ¿le das su comida así nada mas en la mesa? Recordemos que es una comida especial para nuestros difuntos, es la mesa donde ellos comerán y debe tener lo mejor“.

No hay que olvidar a nuestros difuntos, tenemos que recordarlos siempre con amor, son fuerza para nosotros.

Expresiones algebraicas.

ETAPAS DEL DESARROLLO DEL ÁLGEBRA.

EL algebra como cualquier lenguaje fue desarrollándose a lo largo del tiempo. Desde los matemáticos babilónicos, egipcios, y chinos, quienes eran capaces de resolver ecuaciones y despejar incógnitas fue evidente la necesidad de una forma de notación que simplificara la representación de estos procesos; la notación algebraica.

La historia del algebra es dividida  en tres periodos distintos que marcan un avance un tanto lento en el descubrimiento de formulas y procesos para resolver problemas, así como la generalización de los mismos, dichos periodos son comúnmente conocidos como: “algebra sincopada, y “algebra simbólica” los cuales abarcan un lapso de tiempo, desde el año 2000 a.c en la época de paleo babilónica, el siglo III. Con las aportaciones de Diofanto y el año 1842 con Nesselman.

La primera de las etapas del algebra corresponde al algebra retorica la cual se denomina así en el campo de la educación matemática, a la primera fase en el desarrollo histórico del algebra debido a que los problemas y soluciones se describían mediante lenguaje natural sin incluir ningún símbolo, ni siquiera de las operaciones. Es el algebra de la edad clásica. Desde los egipcios y babilónicos hasta la obra de Diofano (Siglo III).

“Algebra Sincopada” es la segunda fase en el desarrollo histórico del algebra caracterizada por el uso de abreviaciones para las incógnitas, aunque los cálculos se describían totalmente en el lenguaje natural. Se considera que esta fase va desde la aritmética de Diaofanto (siglo III) hasta vieta (Siglo XVI) quien es considerado por algunos el padre del algebra por haber inaugurado la fase simbólica.

 Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número (matemáticas): Números complejos).

Como última etapa tenemos al “algebra simbólica”  esta es la fase moderna del desarrollo del algebra, inaugurado por Francois Viete ( Fransico Vieta) el cual fue un matemático francés que vivió en parís en 1540-1603, quien fue el primero en usar literales para las incógnitas y los parámetros de las ecuaciones y es considerado por muchos como “ el padre del algebra”.

Uno de los mayores adelantos en el estudio del algebra ocurrió en el siglo  XVI: el uso de símbolos para representar variables, incógnitas y operaciones algebraicas. La mayor parte de la notación algebraica moderna, proviene de esta época.

Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna  también llamada álgebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias

Conclusión: Álgebra se me hace un magnifico descubrimiento ya que de ella se derivan diferentes ciencias.

bibliográficas:
http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html
http://ficus.pntic.mec.es/mnaf0005/Historia.html
http://luzlujan21.blogspot.mx/p/historia-la-historia-del-algebra.html

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